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Introduction à la théorie générale des processus et intégrales stochastiques : cours et exercices corrigés

Author: Jean-Claude Laleuf
Publisher: Paris : Ellipses, ©2016.
Series: Références sciences.
Edition/Format:   Print book : French
Summary:
"Après une introduction situant le contexte et donnant les grandes lignes de la construction de l'intégrale stochastique, trois chapitres présentent des rappels et des compléments sur l'intégration classique, les martingales et la topologie générale. Le vrai point de départ de la théorie est le théorème de capacité de Choquet. Les théorèmes de sections optionnelles et prévisibles de Meyer en  Read more...
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Genre/Form: Problems and exercises
Textbooks
[Problèmes et exercices]
Manuels d'enseignement supérieur
Problems, exercises, etc
Problèmes et exercices
Document Type: Book
All Authors / Contributors: Jean-Claude Laleuf
ISBN: 9782340011540 234001154X
OCLC Number: 952020498
Description: 1 v. (331 p.) : couv. illustrations en coul. ; 24 cm.
Contents: 1. Mesurabilité et intégration --
1.1. Espace de probabilité --
1.2. Applications mesurables --
1.3. Espérance d'une variable aléatoire réelle --
1.4. Uniforme Intégrabilité --
1.5. Théorème des classes monotones --
1.6. Complément: intégrale de Daniel --
1.7. Complément: théorèmes de Hahn-Banach et de Zorn --
1.8. Solutions des exercices 2. Transformée de Fourier --
2.1. Transformée de Fourier, fonction caractéristique --
2.2. Convergence des mesures --
2.3. Convolution --
2.4. Transformée de Fourier et convergence des mesures --
2.5. Complément: vecteur gaussien --
2.6. Complément: théorème de Stone-Weierstrass --
2.7. Complément: théorème de Riesz --
3. Espérance conditionnelle, temps d'arrêt --
3.1. Espérance conditionnelle --
3.2. Loi conditionnée --
3.3. Temps d'arrêt --
3.4. Solution des exercices --
4. Martingales à temps discret --
4.1. Martingales, intégrale stochastique discrète --
4.2. Convergence presque sûre des S-martingales --
4.3. Convergence dans L1 des S-martingales --
4.4. Inégalité de Doob dans Lp --
4.5. Arrêt et échantillonnage --
4.6. Introduction aux modèles financiers --
4.7. Complément: sur-martingales inverses --
4.8. Complément: inégalité de Doob --
4.9. Complément: échantillonnage --
4.10. Solution des exercices --
5. Martingales à temps continu --
5.1. Régularisation des S-martingales --
5.2. Convergence des S-martingales cadlag --
5.3. Inégalité de Doob dans Lp --
5.4. Arrêt et échantillonnage --
5.5. Martingale de carré intégrable --
5.6. Complément: régularisation des S-martingales --
5.7. Complément: arrêt et échantillonnage --
5.8. Complément: processus gaussien --
5.9. Complément: complétions --
5.10. Solution des exercices --
6. Intégrale de Lebesgue-Stieltjes --
6.1. Variation des fonctions --
6.2. Intégrale de Lebesgue-Stieltjes des fonctions --
6.3. Ensemble et processus progressivement mesurables --
6.4. Complément: mesures signées --
7. Variation des martingales --
7.1. Variation des martingales --
7.2. Variation quadratique des martingales continues --
7.3. Covariation des martingales continues --
7.4. Démonstration du théorème de Doob-Meyer --
7.5. Solution des exercices --
8. Intégrale stochastique --
8.1. Mesure associée à une martingale --
8.2. Théorie L2 de l'intégrale stochastique --
8.3. Approximation de l'IS --
8.4. Covariation de l'IS --
8.5. Solution des exercices --
9. Semi-martingales --
9.1. Martingale locale --
9.2. Intégrale stochastique dans cMloc --
9.3. Approximation de l'IS dans cMloc --
9.4. Semi-martingale --
9.5. Intégration par parties et formule d'Ito --
9.6. Complément: approximation polynomiale --
9.7. Solution des exercices --
10. Équations différentielles stochastiques --
10.1. Notations, hypothèses et définitions générales --
10.2. Existence et unicité des solutions fortes --
10.3. Complément: continuité des solutions fortes --
10.4. Complément: théorème de continuité --
10.5. Solution des exercices --
11. Construction des processus stochastiques --
11.1. Construction d'une probabilité --
11.2. Processus canonique de lois finies données --
11.3. Complément: théorème de Carathéodory --
12. Processus de Markov --
12.1. Définition générale des processus de Markov --
12.2. Processus de Markov homogène --
12.3. Semi-groupes de Markov --
12.4. Diffusion d'Ito --
12.5. Réalisation d'un semi-groupe --
12.6. Réalisation canonique --
12.7. Complément: famille markovienne --
12.8. Complément: processus arrêté --
12.9. Solution des exercices --
13. Processus de Feller --
13.1. Semi-groupe de Feller --
13.2. Générateur et résolvante --
13.3. Processus de Feller --
13.4. Complément: semi-groupe d'opérateurs --
13.5. Complément: continuité d'un semi-groupe de noyaux --
13.6. Complément: construction d'un processus de Feller --
14. Chaîne de Markov --
14.1. Définitions et propriétés générales --
14.2. États récurrents et états transitoires --
14.3. Chaîne d'espace d'état fini --
14.4. Mesure invariante --
14.5. Distribution invariante --
14.6. Distribution asymptotique --
14.7. Complément: classes récurrentes ou transitoires --
14.8. Complément: unicité de la mesure invariante --
14.9. Complément: théorème de convergence --
14.10. Solution des exercices --
15. Processus de sauts markoviens --
15.1. Construction des processus de sauts markoviens --
15.2. Générateur et équation de Kolmogorov --
15.3. Mesure annulatrice du générateur --
15.4. Distribution annulatrice du générateur --
15.5. Distribution asymptotique --
15.6. Complément: construction des processus de sauts --
15.7. Complément: équations de Kolmogorov --
15.8. Complément: théorème de convergence en loi --
15.9. Solution des exercices --
16. Processus de Lévy --
16.1. Accroissements indépendants stationnaires --
16.2. Processus de Lévy: propriétés générales --
16.3. Processus de Poisson --
16.3.6. Exercice espérance et variance d'un PPC --
16.4. Processus associés aux sauts d'un processus de Lévy --
16.5. Décomposition d'un processus de Lévy --
16.6. Solution des exercices --
17. Modélisation --
17.1. Files d'attente --
17.2. Fiabilité et disponibilité des systèmes --
17.3. Solution des exercices.
Series Title: Références sciences.
Responsibility: Jean-Claude Laleuf.
More information:

Abstract:

"Après une introduction situant le contexte et donnant les grandes lignes de la construction de l'intégrale stochastique, trois chapitres présentent des rappels et des compléments sur l'intégration classique, les martingales et la topologie générale. Le vrai point de départ de la théorie est le théorème de capacité de Choquet. Les théorèmes de sections optionnelles et prévisibles de Meyer en découlent facilement. On peut alors définir les projections optionnelles et prévisibles, établir leurs propriétés démontrer le célèbre théorème de Doob-Meyer, Ce dernier résultat, avec celui concernant la décomposition des martingales locales, constitue la clé de la définition de l'intégrale stochastique. La covariation des semi-martingales et la formule d'Ito (donc le calcul stochastique) dérivent à leur tour de l'existence et des propriétés de l'intégrale stochastique."--Page 4 de la couverture.

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Variation des martingales -- 7.2. Variation quadratique des martingales continues -- 7.3. Covariation des martingales continues -- 7.4. Démonstration du théorème de Doob-Meyer -- 7.5. Solution des exercices -- 8. Intégrale stochastique -- 8.1. Mesure associée à une martingale -- 8.2. Théorie L2 de l'intégrale stochastique -- 8.3. Approximation de l'IS -- 8.4. Covariation de l'IS -- 8.5. Solution des exercices -- 9. Semi-martingales -- 9.1. Martingale locale -- 9.2. Intégrale stochastique dans cMloc -- 9.3. Approximation de l'IS dans cMloc -- 9.4. Semi-martingale -- 9.5. Intégration par parties et formule d'Ito -- 9.6. Complément: approximation polynomiale -- 9.7. Solution des exercices -- 10. Équations différentielles stochastiques -- 10.1. Notations, hypothèses et définitions générales -- 10.2. Existence et unicité des solutions fortes -- 10.3. Complément: continuité des solutions fortes -- 10.4. Complément: théorème de continuité -- 10.5. Solution des exercices -- 11. Construction des processus stochastiques -- 11.1. Construction d'une probabilité -- 11.2. Processus canonique de lois finies données -- 11.3. Complément: théorème de Carathéodory -- 12. Processus de Markov -- 12.1. Définition générale des processus de Markov -- 12.2. Processus de Markov homogène -- 12.3. Semi-groupes de Markov -- 12.4. Diffusion d'Ito -- 12.5. Réalisation d'un semi-groupe -- 12.6. Réalisation canonique -- 12.7. Complément: famille markovienne -- 12.8. Complément: processus arrêté -- 12.9. Solution des exercices -- 13. Processus de Feller -- 13.1. Semi-groupe de Feller -- 13.2. Générateur et résolvante -- 13.3. Processus de Feller -- 13.4. Complément: semi-groupe d'opérateurs -- 13.5. Complément: continuité d'un semi-groupe de noyaux -- 13.6. Complément: construction d'un processus de Feller -- 14. Chaîne de Markov -- 14.1. Définitions et propriétés générales -- 14.2. États récurrents et états transitoires -- 14.3. Chaîne d'espace d'état fini -- 14.4. 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