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Processus SLE et sensibilité aux perturbations de la percolation critique plane

Auteur : Christophe Raymond Garban; Wendelin Werner; Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne).
Éditeur : [s.l.] : [s.n.], 2008.
Dissertation : Thèse de doctorat : Mathématiques : Paris 11 : 2008.
Édition/format :   Thèse/dissertation : Thèse/mémoire : Français
Base de données :WorldCat
Résumé :
Nous étudions certaines propriétés relatives aux processus SLE ainsi que la percolation critique planaire. Dans un premier temps nous évaluons a l'aide des processus SLE, l'aire moyenne qui est comprise dans une boucle brownienne définie dans le plan complexe. Cette aire moyenne pour des boucles de temps un se trouve être égale a Pi sur cinq. Dans un deuxième temps, nous montrons un analogue du théorème de
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Détails

Type d’ouvrage : Thèse/mémoire
Format : Livre
Tous les auteurs / collaborateurs : Christophe Raymond Garban; Wendelin Werner; Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne).
Numéro OCLC : 494597296
Notes : Thèse rédigée entièrement en anglais.
Résumé étendu en français (p. 1-44).
Description : 1 vol. (VI-266 p.) : ill. ; 30 cm.
Responsabilité : Christophe Garban ; [sous la direction de] Wendelin Werner.

Résumé :

Nous étudions certaines propriétés relatives aux processus SLE ainsi que la percolation critique planaire. Dans un premier temps nous évaluons a l'aide des processus SLE, l'aire moyenne qui est comprise dans une boucle brownienne définie dans le plan complexe. Cette aire moyenne pour des boucles de temps un se trouve être égale a Pi sur cinq. Dans un deuxième temps, nous montrons un analogue du théorème de Makarov (concernant le support de la mesure harmonique) dans le cas des processus SLE. Ensuite nous nous intéressons au modèle de la percolation dynamique. Nous montrons que au point critique, la dimension fractale des temps exceptionnels où une composante infinie apparaît est précisément 31/36 dans le cas de la percolation sur réseau triangulaire. Dans le cas de la percolation critique sur Z^2, nous démontrons l'existence de ces temps exceptionnels. L'étude de la percolation dynamique est intimement liée au phénomène connu sous le nom de "sensibilité au bruit" de la percolation critique. Nous démontrons un résultat "optimal" concernant cette sensibilité au bruit de la percolation critique dans un cas général. Ces résultats utilisent abondamment de l'analyse de Fourier discrète. Enfin, dans un dernier temps, nous nous intéressons a la limite d'échelle de la "percolation presque critique". Nous présentons certains résultats qui seront utilises ultérieurement pour la preuve qu'une telle limite continue existe (et est unique).

This thesis focuses on some properties of critical planar percolation as well as SLE Processes. The first chapter deals with the expected area of a planar Brownian Loop of time one. This expected area is computed using SLE techniques and happens to be Pi over five. The second chapter presents an Analog of Makarov Theorem about SLE curves and leads to the almost sure continuity of the SLE curves in arbitrary simply connected domains. The Third chapter (which, in some sense is the main one) deals with properties of dynamical peroclation. It is proved for instance that the set of exceptional times (where an inifnite cluster appears) has fractal dimension 31/36 on the triangular lattice (at p_c =1/2). The existence of these exceptional times is also proved in the case of the square grid Z^2. These questions are related to the so called phenomenon of "noise sensitivity" of percolation. Various sharp results are provided about this noise sensitivity in a general setting. The proofs rely on Discrete Fourier analysis. The Last chapter is about the scaling limit of "near-critical" percolation. We present some results which will be the key steps in a forthcoming proof of the existence and uniqueness of this scaling limit. These results apply as well to the setting of the scaling limit of dynamical percolation.

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