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L'uniformisation locale des surfaces d'Artin-Schreier en caractéristique positive

Author: Raphaël Astier; Vincent Cossart; Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines.
Publisher: [S. l.] : [s. n.], 2002.
Dissertation: Thèse de doctorat : Mathématiques : Versailles Saint Quentin-en-Yvelines : 2002.
Edition/Format:   Thesis/dissertation : Thesis/dissertation : French
Database:WorldCat
Summary:
Cette thèse traite de l'uniformisation, en caractéristique p>0, d'une valuation rationnelle, dans les cas où cette valuation est centrée en une singularité définie localement par des hypersurfaces d'équations :- soit zp̂+f(x,y)=0, avec f non puissance p-ième et ord f>p,- soit zp̂+e(x,y)z+f(x,y)=0, avec ord(ez+f)>p (cas d'Artin-Schreier).Ici l'originalité consiste en une majoration du nombre minimum
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Details

Material Type: Thesis/dissertation
Document Type: Book
All Authors / Contributors: Raphaël Astier; Vincent Cossart; Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines.
OCLC Number: 495437315
Notes: Résumé en français.
Description: 48 p. : ill. ; 30 cm.
Responsibility: Raphaël Astier ; sous la dir. de Vincent Cossart.

Abstract:

Cette thèse traite de l'uniformisation, en caractéristique p>0, d'une valuation rationnelle, dans les cas où cette valuation est centrée en une singularité définie localement par des hypersurfaces d'équations :- soit zp̂+f(x,y)=0, avec f non puissance p-ième et ord f>p,- soit zp̂+e(x,y)z+f(x,y)=0, avec ord(ez+f)>p (cas d'Artin-Schreier).Ici l'originalité consiste en une majoration du nombre minimum d'éclatements nécessaires pour uniformiser, et en une description d̀̀'en bas'' de l'évolution des olygones de Newton ainsi que des paramètres choisis pour les éclatés successifs le long de la valuation. Pour se faire, on revient sur l'obtention de la formenormale de Giraud pour f dans l'anneau O_X(X), où X schéma régulier dedimension deux et de caractéristique p ; on donne un algorithme permettant de prévoir les translations à faire et l'on quantifie cet algorithme pour obtenir une singularité quasi-ordinaire.

This thesis deals with uniformization, in characteristic p>0, of a rational valuation, in special cases where this valuation is centered on a singularity locally defined by the following equations :- either zp̂+f(x,y)=0, with f not a p-th power, and ordf >p,- or zp̂+e(x,y)z+f(x,y)=0, with ord (ez+f)>p (Artin-Schreier's case).Historically, it was in such cases that all difficulty of resolving surfaces in positive characteristic was concentrated.The novelty bringed in this work consists first in giving a bound to theminimum number of closed point's blowing-ups needed to uniformize, and second in anticipating (from the first ring) the Newton polygon's evolution and the parameter's choice for the successive blowing-ups along the valuation. In a first part, we come back on the Giraud's normal form of f in O_X(X)where X is a two dimensional regular scheme of characteristic p. The startingpoint is an polynomial expansion of f with a generating sequence for the valuation. We can then study and anticipate the behavior of this expansion and the associated Newton polygon modulo a p-th power. We then give a bound on the maximum number of blowing-ups needed for this polygon to become minimal, with only one vertex, and of maximal height one. This case correspond to the normal form of f.In a second part, using this results for the two above-mentionned cases, wegive an algorithm witch anticipate, in the first ring, the translations on zneeded to keep a minimal Newton polygon during the blowing-ups sequence (alongthe valuation), and we quantify the maximal size of such a sequence with last ring corresponding to a quasi-ordinary singularity.

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